Praktikum 1 Komputasi Numerik
Kelas Komputasi Numerik (B)

Kelompok 5

1. Akmal Sulthon Fathulloh (5025211047)
2. Thariq Agfi Hermawan (5025211215)
3. Tigo S Yoga (5025211125)

Metode Bolzano, dikenal pula dengan metode setengah interval (interval halving), metode bagi dua, metode biseksi, atau metode pemotongan biner, merupakan metode pencarian akar suatu persamaan yang membagi suatu interval menjadi 2 bagian kemudian memilih interval mana yang seharusnya mengapit akar untuk diproses lebih lanjut. Metode ini sangat sederhana, tetapi juga sangat lambat.

Langkah yang terlebih dahulu dilakukan adalah menginisialisasi 2 titik awal, sebut saja a dan b, sedemikian sehingga f(a) dan f(b) harus berlainan tanda. Menurut intermediate value theorem, fungsi f pasti memiliki setidaknya 1 akar dalam interval 2 titik (dalam kasus ini (a, b)) yang berlainan tanda. Langkah selanjutnya adalah mencari titik tengah kedua titik a dan b, sebut saja c. Sekarang, ada 2 kemungkinan: f(a) dan f(c) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar, atau f(b) dan f(c) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar. Kita pilih interval mana yang mengapit akar dan menerapkan algoritma serupa terhadapnya. Dengan demikian, interval yang mungkin mengapit akar akan dikurangi lebarnya 50% setiap iterasi sehingga setelah iterasi yang cukup banyak akan didapatkan interval yang cukup kecil.

Pertama, melakukan inisialisasi beberapa data, yaitu:

• low_lim -> lower limit (batas bawah)
• up_lim -> upper limit (batas atas)
• scale -> jumlah digit angka di belakang koma
• max_iter -> jumlah iterasi maksimum
• error_tol -> toleransi eror

Setelah diinisialisasi, dilakukan pengecekan awal apakah data interval yang diinput sudah valid (ada akar yang diapit oleh kedua batas).

try:
    assert is_valid(low_lim, up_lim, error_tol)
except AssertionError:
    print("Eror: tidak ditemukan akar pada interval ini. Masukkan interval lain.")
    exit()

Program akan diterminasi jika input invalid. Jika input valid, maka dilanjutkan proses iterasi. Proses iterasi dilakukan sebanyak max_iter selama kondisi masih valid. Berikut adalah fungsi validasinya.

def is_valid(a, b, error_tol):
    curr_error = abs(a - b)
    if curr_error < error_tol:
        return False
    if f(a) * f(b) > 0:
        return False
    return True

Kondisi dianggap valid jika dan hanya jika f(a) dan f(b) berlainan tanda (plus-minus atau minus-plus), serta curr_error (eror saat ini) masih di atas error_tol. curr_error dicari dengan menghitung selisih mutlak antara a dan b dengan asumsi kita tidak mengetahui nilai akar yang pasti dari persamaan sebelumnya.

Dalam setiap iterasi, dilakukan penghitungan nilai tengah dari low_lim dan up_lim yang disimpan dalam variabel med. Selanjutnya dilakukan pengisian secara berturut-turut nilai i+1, low_lim, up_lim, med, f(low_lim), f(up_lim), f(med), dan abs(x1-x2) ke list tabel hasil iter, x1, x2, x3, f_x1, f_x2, f_x3, dan error untuk diolah lebih lanjut.

Jika f(low_lim) dan f(med) memiliki tanda berlawanan, maka akar berada di interval (low_lim, med) sehingga nilai med akan disimpan sebagai up_lim untuk iterasi selanjutnya. Sebaliknya, jika f(up_lim) dan f(med) memiliki tanda berlawanan, maka akar berada di interval (med, up_lim) sehingga nilai med akan disimpan sebagai low_lim untuk iterasi selanjutnya.

Hal ini akan terus dilakukan selama kondisi masih valid. Jika curr_error sudah di bawah error_tol, maka iterasi akan berhenti dan nilai termin_flag akan diset menjadi True. termin_flag berfungsi untuk memberitahukan bahwa iterasi diterminasi sebelum mencapai max_iter dan memunculkan pesan pemberitahuan.

if termin_flag:
    print('NB: proses diterminasi pada iterasi ke-' +
          str(iter[-1]) + ' karena telah mencapai batas maksimum toleransi eror.')

Setelah semua proses selesai, semua data pada tabel lalu dicetak di terminal dan grafik fungsi beserta titik akar (x3) diplotkan pada jendela matplotlib.

Berikut adalah hasil keluaran program untuk persamaan f(x) = e^(-x) - x dengan batas bawah low_lim = 0, batas atas up_lim = 1, digit di belakang koma scale = 5, jumlah iterasi maksimum max_iter = 10, dan toleransi eror error_tol = 0.0001.

Plot grafik:

Tabel data:

Berikut adalah contoh ketika program diterminasi karena tidak ditemukan akar pada interval yang diinput.

Berikut adalah contoh ketika program diterminasi karena telah mencapai batas maksimum toleransi eror.

Dependensi yang diperlukan untuk menjalankan program ini adalah:

• numpy
• matplotlib
• tabulate