排队论模拟 @[toc]
生活中需要排队的地方很多,本模型用于分析和仿真现实生活中的排队现象。 排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话,以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题,即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决,这个问题久久未能解决。 1909年,丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。1917 年,爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理 论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库 存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题,显示了强大的生命力。
(1)由于顾客到达和服务时间的随机性, 现实中的排队现象几乎不可避免; (2)排队过程,通常是一个随机过程, 排队论又称“随机服务系统理论”;
(1)顾客输入过程; (2)排队结构与排队规则; (3)服务机构与服务规则;
顾客源(总体):有限/无限; 顾客到达方式:逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔:随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立:相互独立/相互关联; 输入过程是否平稳:平稳/非平稳;(仅研究平稳性)
顾客排队方式:等待制/即时制(损失制); 排队系统容量:有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)
设顾客到达速率服从参数为lambda的负指数分布,服务速率为mu的负指数分布,服务强度rho = lambda / mu
则当lambda <= mu时,则rho <= 1,队伍的长度L会逐渐增长并收敛至L = lambda/(mu - lambda),平均等待时间会收敛至W = 1 / (mu - lambda)
反之若lambda > mu,rho > 1,L和W会随着到达的顾客数的增加而增加,不会收敛。
采用MATLAB生成服从负指数分布的随机数,并对队长以及等待时间进行统计,最后画图展示出排队的过程
eg: lambda = 0.1493 mu = 0.1587
ave_t = zeros(10,100);
p = zeros(10,100);
nn = 10:10:5000; %到达路口的车数
count = zeros(size(nn,2),100); %队列长度
for d = 1:length(nn)
for s = 1:100
n = nn(d); %模拟车辆数目
dt = exprnd(6.7,1,n); %模拟到达时间间隔
st = exprnd(6.3,1,n); %每辆车经过路口所用的时间
a = zeros(1,n); %每辆车到达时刻
b = zeros(1,n); %每辆车到达路口的时刻
c = zeros(1,n); %每辆车离开时刻
a(1) = 0;
for i = 2:n
a(i) = a(i-1) + dt(i-1);
end
b(1) = 0;
c(1) = b(1) + st(1);
for i = 2:n
%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间早,则其到达路口停车线的时间为前一辆车离开时间
if(a(i) <= c(i-1))
b(i) = c(i-1);
%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间晚,则其到达路口停车线的时间为其到达时间
else
b(i) = a(i);
end
%第i辆车离开时间为其到达路口停车线的时刻+通过路口需要的时间
c(i) = b(i) + st(i);
end
for i = 2:n
if(a(i) <= c(i-1))
count(d,s) = count(d,s) + 1;
else
break;
end
end
cost = zeros(1,n);
for i = 1:n
cost(i)=c(i)-a(i); %第i辆车在队列中等待的时间
end
T = c(n); %总时间
p(d,s) = sum(st)/T;
ave_t(d,s) = sum(cost)/n;
end
end
pc = sum(p,2)/100; %服务强度
aver_tc = sum(ave_t,2) / 100; %在队列中耗费的平均时间
count = sum(count,2) / 100;
%画图部分
figure;
subplot(2,1,1)
plot(nn,aver_tc);
grid on;
title('平均等待时间随到达路口车辆总数变化曲线 单位:秒')
xlabel('到达路口车辆总数')
ylabel('平均等待时间')
subplot(2,1,2)
plot(nn,count);
grid on;
%ylim([0,2])
title('队列中的交通量数随到达路口车辆总数变化曲线 单位:pcu')
xlabel('到达路口车辆总数')
ylabel('队列中的车辆数')
set(gcf,'color','w');
%p = fig2plotly(gcf,'offline',true);