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queue's Introduction

Queue

排队论模拟 @[toc]

1 概述

生活中需要排队的地方很多,本模型用于分析和仿真现实生活中的排队现象。 排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话,以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题,即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决,这个问题久久未能解决。 1909年,丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。1917 年,爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理 论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库 存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题,显示了强大的生命力。

2 模型介绍

(1)由于顾客到达和服务时间的随机性, 现实中的排队现象几乎不可避免; (2)排队过程,通常是一个随机过程, 排队论又称“随机服务系统理论”;

2.1 排队服务过程

在这里插入图片描述

2.2 排队系统的要素

(1)顾客输入过程; (2)排队结构与排队规则; (3)服务机构与服务规则;

2.3 顾客输入过程

顾客源(总体):有限/无限; 顾客到达方式:逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔:随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立:相互独立/相互关联; 输入过程是否平稳:平稳/非平稳;(仅研究平稳性) 在这里插入图片描述

2.4 排队结构与排队规则

顾客排队方式:等待制/即时制(损失制); 排队系统容量:有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)

2.5 服务机构与服务规则

服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形) 在这里插入图片描述

3 代码实现

设顾客到达速率服从参数为lambda的负指数分布,服务速率为mu的负指数分布,服务强度rho = lambda / mu

则当lambda <= mu时,则rho <= 1,队伍的长度L会逐渐增长并收敛至L = lambda/(mu - lambda),平均等待时间会收敛至W = 1 / (mu - lambda)

反之若lambda > mu,rho > 1,L和W会随着到达的顾客数的增加而增加,不会收敛。

采用MATLAB生成服从负指数分布的随机数,并对队长以及等待时间进行统计,最后画图展示出排队的过程

eg: lambda = 0.1493 mu = 0.1587

模拟结果如下 PCU也称当量交通量。 在这里插入图片描述

ave_t = zeros(10,100);
p = zeros(10,100);
nn = 10:10:5000;    %到达路口的车数
count = zeros(size(nn,2),100);    %队列长度

for d = 1:length(nn)
    for s = 1:100 
        n = nn(d);    %模拟车辆数目
        dt = exprnd(6.7,1,n);    %模拟到达时间间隔
        st = exprnd(6.3,1,n);    %每辆车经过路口所用的时间
        a = zeros(1,n);    %每辆车到达时刻
        b = zeros(1,n);    %每辆车到达路口的时刻
        c = zeros(1,n);    %每辆车离开时刻
        a(1) = 0;
        
        for i = 2:n
            a(i) = a(i-1) + dt(i-1);
        end
        
        b(1) = 0;
        c(1) = b(1) + st(1);
        
        for i = 2:n
%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间早则其到达路口停车线的时间为前一辆车离开时间
           if(a(i) <= c(i-1))
               b(i) = c(i-1);
%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间晚则其到达路口停车线的时间为其到达时间
           else
               b(i) = a(i);
           end
%第i辆车离开时间为其到达路口停车线的时刻+通过路口需要的时间
           c(i) = b(i) + st(i);
       end
           
       for i = 2:n
           if(a(i) <= c(i-1))
               count(d,s) = count(d,s) + 1;
           else
               break;
           end
       end
           
        cost = zeros(1,n);
        for i = 1:n
            cost(i)=c(i)-a(i);    %第i辆车在队列中等待的时间
        end
        T = c(n);    %总时间
        p(d,s) = sum(st)/T;
        ave_t(d,s) = sum(cost)/n;
    end
end
pc = sum(p,2)/100;    %服务强度
aver_tc = sum(ave_t,2) / 100;    %在队列中耗费的平均时间
count = sum(count,2) / 100;

%画图部分
figure;
subplot(2,1,1)
plot(nn,aver_tc);
grid on;
title('平均等待时间随到达路口车辆总数变化曲线  单位:秒')
xlabel('到达路口车辆总数')
ylabel('平均等待时间')   

subplot(2,1,2)
plot(nn,count);
grid on;
%ylim([0,2])
title('队列中的交通量数随到达路口车辆总数变化曲线  单位:pcu')
xlabel('到达路口车辆总数')
ylabel('队列中的车辆数') 
set(gcf,'color','w');
%p = fig2plotly(gcf,'offline',true);  

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