1. Stellen Sie mit dem Befehl

   java --version
   

   im Terminal sicher, dass die neuste Version von java installiert ist.

2. Extrahieren Sie die Heruntergeladene Datei.

3. Öffnen sie ein Terminal und navigieren sie zum Pfad

   src/main/java/de/hsrm/ads
   

   der Zip-Datei.

4. Führen Sie mit den Befehlen die einzelnen Teilaufgaben mit

   java Reverse.java
   java RucksackBacktracking.java
   java RucksackGreedy.java
   

   aus.

Weitere Dokumentation finden Sie im Quellcode oder unter https://luca910.github.io/backtracking

Aufgabe 2:
f(n)=2∗f(n−1) f(0)=1 n∈N

f(1)=2∗1=2
f(2)=2∗f(1)=4
f(3)=2∗f(2)=8
f(4)=2∗f(3)=16
f(5)=2∗f(4)=32
f(6)=2∗f(5)=64
f(7)=2∗f(6)=128
f(8)=2∗f(7)=256=2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2
…
f(n)=2^n∈O(2^n)

Zu zeigen:
∃c,n_0 :2^n≤c∗2^n für alle n≥n_0
wähle c=2 und n=100

IA
Für den Anfang wird n=1000 eingesetzt um zu prüfen, ob es Stimmt.
Es lässt sich bestätigen, da
2^n≤2∗2^n

n=1000: 2^1000≤2∗2^1000
2^1000≤2^1001

IV
Durch den Anfang wissen wir, dass
2^n≤2∗2^n

IS
Zu zeigen ist, dass das auch für n+1gilt.
Da 2^(n+1)=2∗2^n ist, kann die IV eingesezt werden.

n→n+1:
2^(n+1)=2∗2^n ≤┴IV 2∗2∗2^n=2^(n+2)

Da 2∗2∗2^n=2^(n+2) ist haben wir gezeigt, dass 2^(n+1)≤2∗2^(n+1)

Aufgabe 3:
Rekurrenz:
f(n) = 1 + f(n-1)
f(0) = 1
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
...
f(n) = n