Tarea03 Modelos Probabilisticos

Para la solucion de la Tarea03 se trabajó con los archivos .csv brindados. Por lo que se comenzó con la importación de las librerias.

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits import mplot3d
import pandas as pd
import numpy as np

Importamos la información con Pandas en un DataFrame

datos = pd.read_csv('xy.csv')
df=pd.DataFrame(datos)
df1=df.drop(columns=['Unnamed: 0'])

datos1 = pd.read_csv('xyp.csv')
df2 =pd.DataFrame(datos1)

Definimos dos vectores X y Y con los valores dados.

y = np.arange(5,26,1)
x = np.arange(5,16,1)

Primero se deben calcular las funciones de densidad marginales de x y y , para ello se realiza la suma de la siguiente forma:

# Funciones Marginales.
fx = np.sum(df, axis=1)
fy = np.sum(df1, axis=0)

Se observa que ambas funciones marginales tienen una distribución Gaussiana, por lo que se calculará el ajuste Gaussiano a cada una de ellas. Se crean dos vectores ( uno para X y otro para Y ) donde se crearan los ajustes para cada variable aleatoria.

xs = np.linspace(5,15,110000)
ys = np.linspace(5,25,110000)

Se define la función de distribución Gaussiana:

def gaussiana(x, mu, sigma):
    return 1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma**2)) * np.exp(-(x - mu)**2/(2*sigma**2))

Donde dicha función se utiliza en conjunto con el comando curve_fit para obtener los parámetros correspondientes a dicha función.

# Parametros para Gaussiana
Xparam, _ = curve_fit(gaussiana,x, fx)
muX = Xparam[0]
print('mu para X ',muX)
sigmaX = Xparam[1]
print('Sigma para X ',sigmaX)

Yparam, _ = curve_fit(gaussiana,y, fy)
muY = Yparam[0]
print('mu para Y ',muY)
sigmaY = Yparam[1]
print('Sigma para Y ',sigmaY)

Donde los parametros obtenidos son:

Finalmente se obtiene el ajuste para cada función marginal con los parámetros obtenidos.

# Ajuste de la Funcion Marginal
ajusteX = gaussiana(xs,muX,sigmaX)
ajusteY = gaussiana(ys,muY,sigmaY)

Como ambas funciones tenian una distribución Gaussiana, se puede calcular la expresión de densidad conjunta multiplicando cada distribución gausiana, obteniendo asi la siguiente expresión:

Para obtener los valores de Correlacion, covarianza y el coeficiente de correlacion se definieron las siguientes funciones:

correlacion = 0
covarianza = 0
coeficiente = 0

# Correlacion
for i in range (0,231):
    val1 = df2.iloc[i]
    mult1 = val1[0]*val1[1]*val1[2]
    correlacion = mult1 + correlacion
    
# Covarianza
for i in range (0,231):
    val2 = df2.iloc[i]
    mult2 = (val2[0]-muX)*(val2[1]-muY)*val2[2]
    covarianza = mult2 + covarianza
    
# Coeficiente de Correlacion
for i in range (0,231):
    val3 = df2.iloc[i]
    mult3 = ((val3[0]-muX)/sigmaX)*((val3[1]-muY)/sigmaY)*val3[2]
    coeficiente = mult3 + coeficiente
    
print('La correlacion de X y de Y es ',correlacion)
print('La covarianza de X y de Y es',covarianza)
print('El  coeficiente de correlación de X y de Y es',coeficiente)

Donde se obtiene los siguientes resultados:

• La correlacion de X y de Y es 149.5428, Note que existe una alta correlacion entre los valores de X y de Y

• La covarianza de X y de Y es 0.06669, Note que para realizar los calculos se asumio previamente que existe independencia entre X y Y por lo que el valor de la covarianza debe de ser cercano a 0.

• El coeficiente de correlación de X y de Y es 0.003353, Note que este coeficiente representa una dependencia lineal entre las dos variables aleatorias, cuando este coeficiente es cercano a cero se concluye que no existe una dependencia lineal entre las variables, no obstante puede existir una dependencia no lineal.

Por ultimo, se grafico todos los datos obtenidos anteriormente.