L'algoritmo Smith & Wilson è un algoritmo ampiamente utilizzato che consente di interpolare ed estrapolare curve di rendimento di strumenti finanziari come titoli di stato e tassi privi di rischio.

Questa implementazione si basa sulla documentazione tecnica della metodologia per derivare la struttura a termine dei tassi di interesse privi di rischio di EIOPA.

Il link fa riferimento alla versione pubblicata il 12/09/2019. Consultare la sezione 7.

Nell'analisi delle aspettative di mercato sui tassi futuri, un approccio comune è quello di esaminare strumenti finanziari a tasso fisso come titoli di stato o obbligazioni aziendali che maturano in futuro. Nell mercato, le scadenze a disposizione (e liquide) sul mercato coprono raramente tutte le scadenze necessarie.

Questa implementazione richiede in input le informazioni di mercato disponibili, i parametri che descrivono il comportamento a lungo termine della curva e i dati sulle scadenze desiderate per le quali sono necessari i rendimenti.

• Rendimento osservato dei titoli di stato zero-coupon (ZCB)
• Scadenza dei ZCB osservati

• Il tasso forward definitivo `ufr`` rappresenta il tasso al quale la curva dei tassi converge all'aumentare del tempo
• Il parametro che controlla la velocità di convergenza. α controlla la velocità con cui la curva converge verso il parametro `ufr`` a partire dall'ultimo punto liquido (l'ultimo dato disponibile nelle informazioni di mercato)

• Elenco delle scadenze per le quali l'algoritmo SW calcolerà i rendimentis

Questa implementazione presupponga che i rendimenti siano calcolati sui ZCB. Questa assunzione può essere facilmente rilassata nelle versioni future.

L'implementazione è divisa in due parti:

• Le informazioni di mercato disponibili e i parametri vengono utilizzati per "calibrare" l'algoritmo. Ciò restituisce un vettore di calibrazione che può essere utilizzato per interpolare o estrapolare le scadenze desiderate. Questo viene fatto calibrando le funzioni kernel. Consultare la funzione `SWCalibrazione()``.

• I rendimenti per i ZCB con le scadenze desiderate vengono interpolati/estrapolati. Consultare la funzione `SWEstrapolazione()``.

Questo rilascio cerca di essere coerente con le specifiche tecniche di EIOPA.

Nell mercato osserviamo 6 instrumenti ZCB con scadenze di 1, 2, 4, 5, 6 e 7 anni, con rendimenti osservati rispettivamente di 1%, 2%, 3%, 3,2%, 3,5% e 4%. L'utente è interessato ai rendimenti per i ZCB con scadenze di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15 e 20 anni. La calibrazione fornita per il parametro alpha è 0,15 e il tasso forward definitivo è 4%.

import numpy as np
from SWCalibrazione import SWCalibrazione as SWCalibrazione
from SWEstrapolazione import SWEstrapolazione as SWEstrapolazione

# Rendimenti osservati sul mercato
r_Obs = np.transpose(np.array([0.01, 0.02, 0.03, 0.032, 0.035, 0.04])) 

# Scadenze dei titoli osservati sul mercato
M_Obs = np.transpose(np.array([1, 2, 4, 5, 6, 7]))  

# Tasso forward definitivo
ufr = 0.04 

# Parametro di velocità di convergenza
alpha = 0.15 

# Scadenze desiderate per l'interpolazione/estrapolazione
M_Target = np.transpose(np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20])) 

# Calcolo del vettore di calibrazione
b = SWCalibrazione(r_Obs,M_Obs, ufr, alpha) 

# Calcolo dei rendimenti desiderati
r_Target = SWEstrapolazione(M_Target,M_Obs, b, ufr, alpha)

# Visualizzazione dei rendimenti desiderati
print("The interpolated/extrapolated rates are:") 
print(r_Target)

Il'file main.py contiene un esempio tratto dallo dalla implementazione in Excel di EIOPA (Smith-Wilson Risk-Free Interest Rate Extrapolation Tool 27102015.xlsb). In questo esempio, i rendimenti sono disponibili per ZCB che maturano in 1 anno, 2 anni, ..., 20 anni. L'output desiderato è la curva fino a 65 anni.

Per estrapolare la curva, è sufficiente conoscere i parametri aggiuntivi (alpha e ufr), le scadenze utilizzate per la calibrazione e il vettore b*Q.

In tal caso, non è difficile modificare la funzione SWEstrapolazione() in modo da accettare come input Q*b invece di b. Un esempio di tale implementazione può essere visualizato in questo Jupyter Notebook (in inglese)

Un esempio di questo formato è il tasso privo di rischio mensile pubblicato dall'Autorità europea per l'assicurazione e la previdenza professionale sito EIOPA ufficiale

To extrapolate the curve, it is enough to know the additional parameters (alpha and ufr), the maturities used for calibration and the vector b*Q. If this is the case, it is not difficult to modify the function SWEstrapolazione() to take as input Qb instead of b. An example of such an implementation can be seen in this Jupyter Notebook https://github.com/open-source-modelling/EIOPA_smith_wilson_test. An example of this format is the monthly risk free rate published by the European Insurance and Occupational Pensions Authority

Se avete suggerimenti per migliorare il codice, i commenti, ecc., vi preghiamo di farcelo sapere, scrivendo una mail a [email protected]