Another take at Sudoku solving in Rust. This is a weekend-ish remake of my previous pet project at sunsided/rust-sudoku-solver. Unlike the previous experiment, this solver correctly solves Hypersudokus and requires fewer branches. Internally, value candidates and indexes are encoded via 16- and 128-bit bitsets (ValueBitSet, IndexBitSet), reducing the overhead for constructing and testing hashsets.
Currently implemented strategies are Naked Singles, Hidden Singles, Naked Twins, Hidden Twins and X-Wings. Each additional strategy comes with its own overhead and most of the time, simply running a trial-and-error branching strategy performs best in terms of wall clock time.
To show the available options for the example, execute:
cargo run --example solver -- --helpTo run the default example with debug output, execute:
RUST_LOG=debug cargo run --release --example solverIndividual strategies can be disabled. To run the default example without the Hidden Twins strategy, execute:
cargo run --release --example solver --no-hidden-twinsSet the log level to trace for more fine-grained information.
For reference, here's an example puzzle from the Wikipedia Sudoku page:
| Initial State | Solution |
|---|---|
 |
 |
The solver's output is shown below. To run, execute:
$ cargo run --release --example solver -- --sudokuFor the code, see src/example_games/sudoku.rs.
Other board variations with known Hidden Twins or X-Wings are available with:
$ cargo run --release --example solver -- --sudoku-ht
$ cargo run --release --example solver -- --sudoku-xwing
$ cargo run --release --example solver -- --sudoku-hardest┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ A · A · A │ B · B · B │ C · C · C │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ A · A · A │ B · B · B │ C · C · C │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ A · A · A │ B · B · B │ C · C · C │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ D · D · D │ E · E · E │ F · F · F │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ D · D · D │ E · E · E │ F · F · F │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ D · D · D │ E · E · E │ F · F · F │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ G · G · G │ H · H · H │ I · I · I │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ G · G · G │ H · H · H │ I · I · I │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ G · G · G │ H · H · H │ I · I · I │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ · · · │ · · 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ · 5 · │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ · · · │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 · · │ · · · │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ · · 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ · · · │ · 5 · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ · · 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ · · · │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ · · · │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ · · 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · 3 │
│ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │
│ · 8 · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ · · 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 · · │
│ 4 · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │
│ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · 2 · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │
│ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · 6 │
│ 7 · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · 2 · │ · · · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ · · · │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ · 8 · │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 · · │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 · · │ · · · │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · 5 · │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ · · · │ · · 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ · · · │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ · · · │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 · · │ · · 9 │
└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ · · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · 2 · │
│ · 5 · │ · · · │ 4 · · │ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · 8 · │ · · 9 │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ · 2 · │ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │
│ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 5 · │ · · · │ 4 · · │ · · · │
│ · · · │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · 5 · │ · · 6 │ · · · │
│ · · · │ · · 9 │ · 8 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 7 · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · 2 · │ · · 3 │
│ · · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · · · │
│ · 8 · │ · · · │ · · 9 │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │ 1 · · │
│ 4 · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 · · │ · · 3 │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · 5 · │ · · 6 │
│ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · 6 │ · · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │
│ · · 9 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ · 5 · │
│ · · · │ · 8 · │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · 3 │ · · · │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ 4 · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · 9 │
└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
For reference, here's an example Nonomino from the Wikipedia Sudoku page:
| Initial State | Solution |
|---|---|
 |
 |
The solver's output is shown below. To run, execute:
$ cargo run --release --example solver -- --nonominoFor the code, see src/example_games/nonomino.rs.
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ A · A · A │ B · C · C │ C · C · C │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ A · A · A │ B · B · B │ C · C · C │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ A · D · D │ D · D · B │ B · B · C │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ A · A · D │ E · E · E │ E · B · B │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ D · D · D │ D · E · F │ F · F · F │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ G · G · E │ E · E · E │ F · I · I │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
│ H · G · G │ G · F · F │ F · F · I │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ H · H · H │ G · G · G │ I · I · I │
├···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┼···┤
│ H · H · H │ H · H · G │ I · I · I │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ · · 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │
│ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 · · │
│ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · 2 · │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 · · │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ · 2 · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · 9 │ 7 8 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · 5 · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ · 2 · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 · · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ · · 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 · · │ 4 5 6 │ · · 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ · 8 · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 · · │ 1 2 3 │ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │ · · 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ · · · │
│ · 5 · │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │
│ · · · │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 · · │
└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ · · 3 │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ · · · │ 4 · · │
│ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · 3 │ · · · │
│ 4 · · │ · · · │ · · · │ · 5 · │ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ 1 · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 2 · │ · · · │
│ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · 5 · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ 7 · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · 3 │
│ · · · │ · · · │ · 5 · │ · · · │ 4 · · │ · · · │ · · 6 │ · · · │ · · · │
│ · · · │ 7 · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ 1 · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · 6 │ 4 · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · 8 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 7 · · │ · · · │ · · 9 │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ · · · │ 4 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 5 · │ · · 6 │
│ · · · │ · · · │ · · 9 │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · · │ 1 · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · 5 · │ · · 6 │ · · · │
│ · · 9 │ · 8 · │ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │ 1 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 2 · │
│ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · 6 │ · · · │ · 5 · │ · · · │ · · · │ · · · │
│ 7 · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · 9 │ · 8 · │ · · · │
├───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ · · · │ · · · │ 1 · · │ · 2 · │ · · · │ · · · │ · · 3 │ · · · │ · · · │
│ · 5 · │ · · 6 │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ 4 · · │ · · · │
│ · · · │ · · · │ · · · │ · · · │ · 8 · │ · · 9 │ · · · │ · · · │ 7 · · │
└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
A Hypersudoku example. To run it, execute:
$ cargo run --release --example solver -- --hyperFor the code, see src/example_games/hypersudoku.rs.
┌───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 2 3 │ 1 · · │ 1 2 3 │
│ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ 4 5 6 │ · · · │ 4 5 6 │
│ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ 7 8 9 │ · · · │ 7 8 9 │
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